Ну, как я читала, что не имеет значения к кому именно прописпн ребенок - к маме или к папе. Просто , если прописан ребенок, то достаточно сложно продать или обменять квартиру, так как надо разрешение органов опеки, то есть в смысле не должны при продаже или обмене ухудшаться условия проживания ребенка.
Вот поэтому некоторые не хотят прописывать к себе в постоянном варианте ребенка, а так же ребенок, если квартира в частной собственности, преобретает права на долю в ней.
Я не считаю, что это именно ваш случай, но и такое возможно.
Может просто так ваша свекровь защищает свою частную собственность и ее тоже можно понять, так как вопрос достаточно сложный и даже конфликтный. Тем более она, наверное, считает, что вопрос уже закрыт, так как ребенок уже прописан.
У нас , как я говорю, стандарт - ребенок прописан с момой и папой в одной квартире, это как ответ на ваш вопрос в посте.
Если вы хотите все-таки ребенка прописать к папе, то есть на жилплощадь свекрови, то можете с ней открыто поговорить и увидете по ее реакции, стоит или не стоит начинать эту процедуру.